Logica delle preposizioni 3

1) Tra le seguenti frasi riconoscere le proposizioni, e stabilirne poi il valore di verità:
a: Vai a casa!
b: Il triangolo isoscele è un quadrilatero;
c: Correre scalzi è bello;
d: I giovani sotto i 30 anni sono intelligenti;
e: 7 è un numero dispari;
f: -3 è un numero negativo;
g: Cosa fai stasera?

a, c, d, g NON sono proposizioni perchè non è possibile stabilirne il valore di verità.

b, e, f sono proposizioni:
b: Falsa
e: Vera
f: Vera


2) Si considerino le seguenti proposizioni:
a: La capitale d'Italia è Roma;
b: 7 è un divisore di 14;
c: 7 è un divisore di 21;
d: Michelangelo ha scritto la Divina Commedia;
e: 4 è un numero pari.
Eseguire le congiunzioni a∧b, c∧d, d∧e, a∧e, e stabilire il valore di verità delle proposizioni ottenute.

a∧b:
La capitale d'Italia è Roma e 7 è un divisore di 14. V∧V = Vera
c∧d:
7 è un divisore di 21 e Michelangelo ha scritto la Divina Commedia. V∧F = Falsa
d∧e:
Michelangelo ha scritto la Divina Commedia e 4 è un numero pari. F∧V = Falsa
a∧e:
La capitale d'Italia è Roma e 4 è un numero pari. V∧V = Vera

3) Si considerino le seguenti proposizioni:
a: La capitale d'Italia è Parigi;
b: 8 è un multiplo di 4;
c: 8 è un multiplo di 2;
d: Michelangelo ha scritto la Divina Commedia;
Eseguire le disgiunzioni a∨b, b∨c, b∨d, c∨d, e stabilire il valore di verità delle proposizioni ottenute.

a∨b:
La capitale d'Italia è Parigi oppure 8 è un multiplo di 4. F∨V = Vera
b∨c:
8 è un multiplo di 4 oppure 8 è un multiplo di 2. V∨V = Vera
b∨d:
8 è un multiplo di 4, o Michelangelo ha scritto la Divina Commedia. V∨F = V
a∨d:
La capitale d'Italia è Parigi oppure Michelangelo ha scritto la Divina Commedia. F∨F = Falso

4) Date le proposizioni:
p: è un giorno di estate;
q: c'è il sole;
scrivere il contenuto delle seguenti proposizioni:
¬p, p∧q, p∨q, p∧(¬q), (¬p)∧(¬q), ¬(¬q).

¬p: non è un giorno di estate.
p∧q: è un giorno di estate e c'è il sole.
p∨q: o è un giorno di estate, oppure c'è il sole.
p∧(¬q): è un giorno di estate e non c'è il sole.
(¬p)∧(¬q): non è un giorno di estate e non c'è il sole.
¬(¬q): non è che non c'è il sole = c'è il sole.

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PROPOSIZIONI E CONNETTIVI LOGICI.


Proposizioni e valori di verità

Quando esprimiamo il nostro pensiero, lo facciamo parlando, pronunciando cioè dei discorsi. Ogni discorso, semplice o complesso, si compone con un insieme di frasi, alcune di queste si possono considerare “proposizioni” nel senso della Logica Matematica. Cerchiamo di definire quest’ultime: sono proposizioni tutte quelle affermazioni per le quali ha senso chiedersi se sono VERE o FALSE.
Sono esempi di proposizioni:

   1)  il 25 dicembre è Natale
2) la Sicilia è un’isola
3) il numero 7 è divisibile per 2
4) Milano è una città del Piemonte

La prima e la seconda sono proposizioni vere (V ), la terza e la quarta sono false (F ).
Non sono proposizioni le frasi interrogative, le esclamative, le imperative come le seguenti:

Che ora è?
Oh, che meraviglia!
Chiudi la porta!

Nel seguito ci occupiamo solo di proposizioni e gli argomenti trattati rientrano nello studio della logica a due valori (o binaria) proprio perché, come meglio vedremo, ogni proposizione sarà vera o falsa e il verificarsi di uno dei due casi escluderà l’altro.
Indicheremo le proposizioni con lettere maiuscole dell’alfabeto, per esempio:

P:  il 25 dicembre è Natale
Q: il numero 7 è divisibile per 2

Se una proposizione, come la P, è vera scriveremo:

P=V

se è falsa, come la Q, scriveremo:

Q=F

è possibile anche identificare il valore V con la cifra 1 e il valore F con la cifra 0; in tal modo, per le proposizioni precedenti potremo scrivere:

P=1        Q=0




Proposizioni semplici e proposizioni composte

Le proposizioni considerate fino ad ora sono semplici (o atomiche ): esse non si possono scomporre in proposizioni ancora più semplici. In sostanza le proposizioni semplici sono quelle che presentano un soggetto, un verbo, un complemento (soggetto e complemento possono anche essere sottointesi). Ecco alcuni esempi:

Giulio ascolta la musica
Piove
4 è dispari

Vi sono poi proposizioni composte  che si possono scomporre in proposizioni semplici. Per esempio:

R: Marisa canta e studia

si compone delle due proposizioni semplici

P: Maria canta          Q: Maria studia

legate dalla congiunzione “e”.

Viceversa, date due proposizioni semplici:

P: piove       Q: il mare è calmo

Si possono formare numerose proposizioni composte, ecco alcuni esempi:

piove e il mare è calmo
non piove e il mare è calmo
piove e il mare non è calmo
non piove e il mare non è calmo
piove o il mare è calmo
se piove, allora il mare non è calmo

Consideriamo ora una delle proposizioni precedenti:

R= P e Q: piove e il mare è calmo

Il problema che ci poniamo è stabilire se R è vera o falsa, è evidente che per dare una risposta occorre:
conoscere il valore di verità delle proposizioni semplici P, Q
conoscere il significato della parola “e” che collega P con Q.





Operazioni con le proposizioni: i connettivi logici

Nel paragrafo precedente ci siamo serviti di alcune parole:

“non”    “e”    “o”    “se…..allora”

per collegare le proposizioni semplici P e Q e ottenere un proposizione composta R.
Tali parole sono i “connettivi logici” . In questo lavoro analizziamo i primi tre.

A) il connettivo NON (negazione)

Data una proposizione P, premettere il connettivo “non”, ossia passare a:

non P

significa invertire il valore di verità di P:

(*)      se P è vera non P è falsa, se P è falsa non P è vera.

Esempio:
P: “6 è divisibile per 3”                    ( P = V )
non P: “6 non è divisibile per 3”       (non P = F )

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